функция f (
x)
= ха, где а - фиксированное число (см.
Степень)
. При действительных значениях основания
х и показателя
а обычно рассматривают лишь действительные значения С. ф.
xa. Они существуют, во всяком случае, для всех
х > 0; если
а - рациональное число с нечётным знаменателем, то они существуют также для всех
х < 0; если же знаменатель рационального числа
а чётный, либо если и иррационально, то
xa не имеет действительного значения ни при каком
х < 0. При
х = 0
степенная функция xa равна нулю для всех
а > 0 и не определена при
а < 0; 0° определённого смысла не имеет. С. ф. (в области действительных значений) однозначна, за исключением тех случаев, когда
а - рациональное число, изображаемое несократимой дробью с чётным знаменателем: в этих случаях она двузначна, причём её значения для одного и того же значения аргумента
х > 0 равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Обычно тогда рассматривается только неотрицательное, или арифметическое, значение С. ф. Для
х >
0 С. ф. - возрастающая, если
а > 0, и убывающая, если
а < 0. С. ф. непрерывна и дифференцируема во всех точках её области определения, за исключением точки
х = 0, в случае 0 <
а < 1 (когда непрерывность сохраняется, но производная обращается в бесконечность); при этом (
xa)
' = axa-1. Далее,
, при a ≠ -1;
в любом интервале, содержащемся в области определения подынтегральной функции.
Функции вида у = cxa, где с - постоянный коэффициент, играют важную роль в математике и её приложениях; при а = 1 эти функции выражают прямую пропорциональность (их графики - прямые, проходящие через начало координат, см. рис. 1), при а = -1 - обратную пропорциональность (графики - равносторонние гиперболы с центром в начале координат, имеющие оси координат своими асимптотами, см. рис. 2). Многие законы физики математически выражаются при помощи функций вида у = cxa (см. рис. 3); например, у = cx2 выражает закон равноускоренного или равнозамедленного движения (у - путь, х - время, 2c - ускорение; начальные путь и скорость равны нулю).
В комплексной области С. ф. za определяется для всех z ≠ 0 формулой:
, (*)
где k = 0, ± 1, ± 2,.... Если а - целое, то С. ф. za однозначна:
.
Если а - рациональное (а = p/q, где р и q взаимно просты), то С. ф. za принимает q различных значений:
где ε
k =
- êîðíè ñòåïåíè
q èç åäèíèöû:
è
k = 0, 1, ..., q - 1. Если
а - иррациональное, то С. ф.
za - бесконечнозначна: множитель
εα2κπι принимает для разных
k различные значения. При комплексных значениях а С. ф.
za определяется той же формулой (*). Например,
так что, в частности,
, где
k = 0, ± 1, ± 2,....
Под главным значением (za)0 С. ф. понимается её значение при k = 0, если -π< argz ≤ π (или 0 ≤ argz < 2π). Так, (za)= |za|eia arg z, (i)0=e -π/2 и т.д.
Рис. к ст. Степенная функция.
Рис. к ст. Степенная функция.